Appesantissons-nous, exemples à l’appui, sur l’éternel débat concernant la valeur d’une démonstration existentielle non-constructive. A l’époque du grand David Hilbert, ce débat faisait particulièrement rage ; Paul Gordan, dégoûté par l’attitude de Hilbert, lâcha même au sujet de ses démonstrations c’est de la théologie, pas des mathématiques.

Un exemple tout bête
Soit F un corps et x_1,\cdots,x_d des éléments de ce corps. On sait bien alors qu’il existe un polynôme non nul, de degré au plus d qui s’annule en ces points. Il est facile d’en exhiber un : \prod (X-x_i).

Une méthode non constructive, un peu ridicule dans ce contexte, consisterait ici à dire que l’application de F_d[X] dans F^d définie par P\mapsto (P(x_1),\cdots,P(x_d)), ne peut être injective pour des raisons de dimension : d+1 à gauche, d à droite. Il y a donc un noyau non trivial, et donc un polynôme non nul, de degré au plus d, qui s’annule aux points prescrits.

On voit déjà le genre d’idées : en linéarisant le problème, on le soumet à la toute puissante algèbre linéaire qui va le broyer… C’est encore ce qu’on va faire dans la suite.

Notons déjà une variante moins bébête de l’énoncé. Pour un polynôme P\in F[x_1,\cdots,x_n] et un point p, notons ord_p(P) l’ordre d’annulation de P en p, soit le plus grand entier k tel que D^{i_1,\cdots,i_n}P(p)=0 avec k=i_1+\cdots i_n et D désignant la dérivation, les exposants étant le nombre de dérivation suivant chaque variable. Si jamais
\sum_{p\in F^n} \binom{c_p+n-1}{n}<\binom{d+n}{n}, alors il existe un polynôme non-nul de degré au plus d tel que ord_p(P)\geq c_p pour tout point p.

Un tel énoncé s’obtient aussi aisément par un argument de dimension.

Le théorème des restes chinois
Ce théorème issu de l’antiquité chinoise (IIIè siècle)
peut être utile pour calculer des concomitances astronomiques (congruences modulo 28 et modulo 365) ou autres.

Sous sa forme européenne formalisée, il dit que si n et m sont deux nombres premiers entre eux, alors \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\sim \mathbb{Z}/nm\mathbb{Z}.

Une preuve existentielle s’obtient en disant que la projection canonique
\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}
a pour noyau nm\mathbb{Z} donc passe au quotient en une application injective, qui est forcée d’être bijective à cause de l’égalité des cardinaux.

Une preuve constructive passe comme souvent par une identité de Bezout. Si n et m sont premiers entre eux, soit u et v tels que uv+nm=1. Soit (x,y)\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}c. Construisons son antécédent par la projection canonique : z=uny+vmx convient.

L’obtention d’une identité de Bézout, qui ne demande rien de plus qu’un brave algorithme d’Euclide étendu, est facile et donne l’isomorphisme recherché à bas coût.

Les nombres algébriques
Tout le monde sait bien que la somme et le produit de deux nombres algébriques est aussi un nombre algébrique.

Une preuve « théologique » est facile. Là encore, il s’agit de linéariser. Soient donc a et b deux nombres algébriques sur un corps K ; la remarque linéaire est qu’alors K[a] et K[b] sont de dimension finie d_1 et d_2 sur K. Mais alors K[a,b]=K[a][b] est de dimension au plus d_2 sur K[a], donc de dimension au plus d_1d_2 sur K. Or, K[a+b] et K[ab] en sont des sous-espaces ; ils sont donc de dimension finie sur K, ce qui signifient que a+b et ab sont algébriques.

Une preuve constructive consiste à fournir, étant donné des polynômes annulateurs de a et b, un polynôme annulant a+b ou ab. Un tel polynôme s’obtient par la théorie du résultant.

Le théorème de Bézout
Il s’agit de borner le nombre de points d’intersection de deux courbes selon leur degré.

Soient P_1,P_2\in F[X,Y] deux polynômes sans facteur commun, de degrés d_1, d_2 et notons Z(P) le lieu des zéros d’un polynôme P. Alors Z(P_1)\cap Z(P_2) est fini de cardinal au plus d_1d_2.

Pour le prouver, la linéarisation fait encore des ravages. Considérons les idéaux
(P_1)=\{P_1Q\lvert Q\in F[x,y]\},(P_2), (P_1,P_2),(P_1)+(P_2),(P_1P_2)=(P_1)\cap(P_2).
En effet, il est aisé de voir que l’énoncé à démontrer revient à dire que la codimension
de l’idéal (P_1,P_2), qui est aussi un sous-espace vectoriel de F[X,Y], est inférieure à d_1d_2.

En effet, en supposant acquis cette borne sur la codimension, raisonnons par l’absurde : soient d_1d_2+1 zéros communs notés (x_i,y_i). Alors on peut former autant de polynômes linéairement indépendants dans l’espace quotient F[X,Y]/(P_1,P_2), en posant
Q_i=\prod_{i\neq j}(X-x_j)(Y-y_j)
d’où la contradiction.
Or, la borne dimensionnelle n’est pas trop dure à obtenir avec un peu de ténacité.

Mais il existe une méthode plus constructive, reposant à nouveau sur la théorie du résultant. On est alors capable de donner des candidats à l’intersection des courbes.
En effet notons R_Y(P_1,P_2),R_X(P_1,P_2) les résultants de nos polynômes, vus respectivement dans F(Y)[X], F(X)[Y], où ils sont toujours sans facteur commun. Ce sont des éléments de F(Y),F(X), mais en fait de F[Y],F[X]. Ils ont donc un nombre fini de racines chacun, et on obtient aisément que les coordonnées (x,y) des points d’intersection vérifient
R_Y(P_1,P_2)(x)=0,R_X(P_1,P_2)(y)=0
d’où la borne d_1d_2.