Récemment, j’ai produit une preuve fausse du théorème de Schwarz-Zippel. Ce théorème, du plus grand intérêt, sert à donner une borne au nombre de zéros dans F^n à un polynôme en n variables sur un corps fini F_q. Plus précisément, soit P\in F[X_1,\cdots,X_n], non-nul, de degré d. Alors le nombre de zéros est inférieur à dq^{n-1}.

J’aurais eu envie de dire : pour chaque n-1 uplet (x_1,\cdots,x_{n-1}), soit P_{x_1,\cdots,x_{n-1}}(t)=P(x_1,\cdots,x_{n-1},t), ce qui définit un polynôme à une indéterminée, de degré au plus d. Il a donc au plus d racines. On obtient ainsi q^{n-1} tels polynômes. Or, (x_1,\cdots,x_n) est un zéro de P si et seulement si x_n est un zéro de P_{x_1,\cdots,x_{n-1}}. D’où la borne sur le nombre de zéros.

Avez-vous vu l’erreur ?
Une vraie preuve a besoin d’une vraie récurrence. Ici on part du résultat bien connu pour les polynômes en une variable, et on l’étend. Une vraie preuve suppose le résultat vrai pour n-1 variables, et en déduit le résultat pour n variables.

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