La première chose parfaitement évidente concernant une somme de nombres complexes est l’inégalité triangulaire :
\lvert \sum_{i=1}^{n}z_i \rvert \leq \sum_{i=1}^{n}\lvert z_i \rvert .

L’égalité est possible, elle est réalisée quand tous les points se trouvent sur une même demi-droite vectorielle. En général, il y a des pertes, qui peuvent être considérables.

Le théorème d’équirépartition de Weyl
Prenons des points z_i « bien répartis » sur le cercle unité. Alors on sent bien que le module de la somme va être riquiqui par rapport à la somme des modules. L’exemple archétypal est celui des racines n-ièmes de l’unité, qui sont « parfaitement répartis » et dont la somme est nulle.

Définissons l’équirépartition comme suit : une suite infinie (z_n)_{n\in \mathbb{N}} de nombres complexes du cercle est dite équirépartie si pour tout intervalle I=(a,b) du cercle (le cercle est vu comme l’intervalle (0,1) avec 0 et 1 assimilés),
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}1_{{z_n}\in I}=b-a

Autrement dit, la fréquence d’appartenance à un intervalle est proportionnelle à sa longueur.

Le théorème de Weyl affirme que la suite des z_n est équirépartie si et seulement si
\sum_{n=0}^{N}z_n=o(N)

Sous-somme d’une somme : lemme de confinement
Supposons que je fasse un certain nombre n de pas de longueur 1 qui me font revenir au bout du compte à mon point de départ. J’ai pu atteindre, au cours de ma promenade, un point très éloigné de mon origine (peut-être même n/2 !). Mais me serait-il possible de réordonner ma suite de pas de manière à ce que je ne sorte à aucun moment d’un disque raisonnablement petit centré en 0 ?

Une promenade confinée

Formellement, soit z_i une suite de complexes de somme nulle. Alors je prétends qu’il existe un réordonnancement z_{\sigma(i)} tel que
\text{max }_{k=1}^{n}\lvert\sum_{i=1}^{k}z_{\sigma(i)}\rvert\leq 2\text{max }\lvert z_i \rvert.

Ce théorème se généralise en fait à tout EVN de dimension finie (en remplaçant 2 par la dimension).

Et si on trafiquait les signes ?
Il s’avère que quitte à soustraire certains complexes au lieu de les additionner, on peut se retrouver assez proche du cas d’égalité triangulaire. Concrètement, on a le résultat suivant :
\forall (z_i)_{i=1,\cdots,n}, \exists (\epsilon_i)\in\{-1,1\}^n : \lvert \sum \epsilon_iz_i \rvert\geq 1/2\sum\lvert z_i\rvert

Moi je me demande si cette égalité marche avec un \sqrt{2} au lieu du 2 !

Mentionnons aussi le lemme de Littlewood-Offord.
Soit a_i des nombres complexes de module au moins égal à 1. Quelle est la probabilité, quand je choisis des \epsilon=\pm 1 au hasard et que je considère la somme \sum \epsilon_i a_i, de tomber dans la boule unité ?
Cette probabilité est assez faible en réalité : de l’ordre de 1/\sqrt{n} !