La première chose parfaitement évidente concernant une somme de nombres complexes est l’inégalité triangulaire :
.
L’égalité est possible, elle est réalisée quand tous les points se trouvent sur une même demi-droite vectorielle. En général, il y a des pertes, qui peuvent être considérables.
Le théorème d’équirépartition de Weyl
Prenons des points « bien répartis » sur le cercle unité. Alors on sent bien que le module de la somme va être riquiqui par rapport à la somme des modules. L’exemple archétypal est celui des racines n-ièmes de l’unité, qui sont « parfaitement répartis » et dont la somme est nulle.
Définissons l’équirépartition comme suit : une suite infinie de nombres complexes du cercle est dite équirépartie si pour tout intervalle
du cercle (le cercle est vu comme l’intervalle (0,1) avec 0 et 1 assimilés),
Autrement dit, la fréquence d’appartenance à un intervalle est proportionnelle à sa longueur.
Le théorème de Weyl affirme que la suite des z_n est équirépartie si et seulement si
Sous-somme d’une somme : lemme de confinement
Supposons que je fasse un certain nombre n de pas de longueur 1 qui me font revenir au bout du compte à mon point de départ. J’ai pu atteindre, au cours de ma promenade, un point très éloigné de mon origine (peut-être même n/2 !). Mais me serait-il possible de réordonner ma suite de pas de manière à ce que je ne sorte à aucun moment d’un disque raisonnablement petit centré en 0 ?
Formellement, soit une suite de complexes de somme nulle. Alors je prétends qu’il existe un réordonnancement
tel que
Ce théorème se généralise en fait à tout EVN de dimension finie (en remplaçant 2 par la dimension).
Et si on trafiquait les signes ?
Il s’avère que quitte à soustraire certains complexes au lieu de les additionner, on peut se retrouver assez proche du cas d’égalité triangulaire. Concrètement, on a le résultat suivant :
Moi je me demande si cette égalité marche avec un au lieu du 2 !
Mentionnons aussi le lemme de Littlewood-Offord.
Soit des nombres complexes de module au moins égal à 1. Quelle est la probabilité, quand je choisis des
au hasard et que je considère la somme
, de tomber dans la boule unité ?
Cette probabilité est assez faible en réalité : de l’ordre de !
3 commentaires
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01/02/2014 à 12:34
2pac
Cher PY,
Il me semble que ton énoncé du critère d’équirépartition de Weyl est erroné… En effet, on peut voir très simplement qu’une suite équirépartie le vérifiera, mais une suite non équirépartie tout bête, comme celle des puissances de (-1), le vérifiera également; ce n’est donc pas un critère suffisant.
Peut-être y a-t-il équivalence si l’on demande cette même propriété pour toutes les puissances des $z_n$ ? Cette condition plus forte est encore nécessaire. Quant au caractère suffisant… je vais essayer de le prouver.
01/02/2014 à 16:52
piwai
Ouuuuuuups il faut exiger ca de toutes les puissances bien sur, merci de suivre !
01/02/2014 à 13:22
2pac
Quand j’y pense, quelle ambition que de vouloir ainsi réduire les inégalités !
Un tel programme ne peut faire l’économie d’une véritable réflexion critique… Et tout d’abord, qu’est-ce qu’une inégalité ? D’où viennent-elles ? A quoi servent-elles ?
Mes amis, mes camarades, n’ayons pas peur des mots : c’est de la norme que viennent les inégalités. C’est la norme qui, en envoyant des points innocents se faire mesurer le vecteur dans la demi-droite réelle, permet de les comparer, de les juger, de les négliger.
Violence faite aux vecteurs, d’autant plus douloureuse qu’elle n’est pas consentie. Car c’est l’homme, l’homme, qui choisit la norme et l’impose. Et nous osons ici l’affirmer : on ne naît pas espace vectoriel normé; on le devient !
Nous n’ignorons pas qu’il existe entre les espaces vectoriels des différences de nature et de complexion indéniables; mais nous prétendons qu’elles n’ont fait que servir d’alibi et d’excuse à la brutalité et à la muflerie les plus arbitraires.
Nous proposons donc à tous les mathématiciens que ce problème interpelle :
1. De boycotter systématiquement les espaces ultra-métriques, dans lesquels l’inégalité triangulaire se montre particulièrement tyrannique.
2. D’éviter si possible les normes euclidiennes, et toutes celles dont les boules sont strictement convexes. En effet, l’inégalité triangulaire n’y présente que de très rares cas d’égalité.
3. De changer, au besoin, les lois*; s’il n’est pas d’autre moyen de faire évoluer la norme.
4. De préférer parmi les espaces vectoriels ceux dont la dimension est infinie, et dans lesquels il est plus facile à une famille d’être libre.
5. De choisir pour corps l’extension la plus grande possible : ainsi les vecteurs pourront tous bénéficier d’une augmentation des scalaires.
Pour eux, pour leurs familles, pour tous ceux qui habitent des compacts et dont les espoirs semblent à jamais bornés, je vous remercie !
2pac, pour le PG (Parti de Gauss) le NPA (Nouveau Parti Affine)
*Je parle ici des lois « + » et « . »