Dans un commentaire au post précédent, 2pac signalait un problème apparenté et fort classique : montrer que si k vecteurs existent dans
avec
alors
. On dit qu’une telle famille est strictement obtusangle ; on peut reformuler ce qui précède en disant que le rang d’une famille strictement obtusangle est d’au moins son cardinal moins un. C’est classique pour un sup ou un spé et un corrigé se trouve ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00130.pdf (c’est l’exercice 3).
Dans le même ordre idée, considérons une famille obtusangle, mais pas forcément strictement, i.e. dans
tous non-nuls avec
. Quelle peut être la taille d’une telle famille ? On a déjà des exemples strictement obtusangles de taille n+1 mais peut-on faire mieux ? Oui facilement en fixant une BON
et en prenant les
, ce qui fait déjà 2n vecteurs.
Je prétends que , et je le prouve. Je raisonne par récurrence sur n ; pour n=1 c’est évident. Supposons le résultat acquis pour toutes les dimensions jusqu’à
et fixons une famille obstusangle
dans
. Discutons selon la taille maximale
d’une sous-famille strictement obtusangle dans cette famille ; sans perte de généralité admettons que
est strictement obtusangle. Si
, alors les produits scalaires sont deux à deux nuls ; autrement dit famille est forcément une BON donc ça taille ne dépasse pas n, qui est lui-même plus petit que 2n. En général, si
, une telle sous-famille est de rang au moins
; soit
le SEV qu’elle engendre et
son orthogonal. Projetons orthogonalement les autres vecteurs de la famille obtusangle sur
: soit
le projeté de
. Pour
, on a
.
Euh là j’ai cru que c’était forcément 0… en fait c’est certain quand le rang est et non
. Mais quand c’est
que dire…
On pourrait essayer de raisonner sur la taille maximale d’une famille strictement obtusangle de rang son cardinal moins un… mais c’est fumeux. Ce serait intéressant pour prouver que la taille d’une famille obtusangle sachant qu’elle contient une famille strictement obtusangle de taille k, rang k-1, est au plus .
Une méthode plus sûre est la deuxième du lien indiqué, un peu adaptée. Donc encore par récurrence. C’est vrai en dimension un ; supposons acquis le résultat jusqu’à la dimension n et soit en dimension n+1. On prend les projetés orthogonaux sur l’orthogonal de
, qui forment à leur tour une famille obtus angle en dimension n. Donc y en a au plus 2n, donc
. Bizarre ! L’erreur, c’est qu’en fait il pourrait bien y avoir un projeté orthogonal nul… Mais seulement un, car il ne peut y avoir outre
qu’un seul vecteur
colinéaire à
, non-nul et ayant un ps négatif avec lui.
Au passage on voit, par récurrence, que les familles de taille maximale (2n) sont faites d’une base orthogonale et de n vecteurs négativement colinéaires.
2 commentaires
Comments feed for this article
13/04/2015 à 02:22
kodlu
nice, also see the discussion at
http://mathoverflow.net/questions/24864/almost-orthogonal-vectors/24887#24887
if you are happy with making the angles slightly acute.
13/04/2015 à 07:55
pybienvenu
Nice indeed, thank you for the link.