Dans un commentaire au post précédent, 2pac signalait un problème apparenté et fort classique : montrer que si k vecteurs e_1,\cdots,e_k existent dans \mathbb{R}^n avec \forall i\neq j\quad e_i\cdot e_j \prec 0 alors k\leq n+1. On dit qu’une telle famille est strictement obtusangle ; on peut reformuler ce qui précède en disant que le rang d’une famille strictement obtusangle est d’au moins son cardinal moins un. C’est classique pour un sup ou un spé et un corrigé se trouve ici : http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00130.pdf (c’est l’exercice 3).

Dans le même ordre idée, considérons une famille obtusangle, mais pas forcément strictement, i.e. e_1,\cdots,e_k dans \mathbb{R}^n tous non-nuls avec \forall i\neq j e_i\cdots e_j \leq 0. Quelle peut être la taille d’une telle famille ? On a déjà des exemples strictement obtusangles de taille n+1 mais peut-on faire mieux ? Oui facilement en fixant une BON e_1,\cdots,e_n et en prenant les \pm e_i, ce qui fait déjà 2n vecteurs.

Je prétends que k\leq 2n, et je le prouve. Je raisonne par récurrence sur n ; pour n=1 c’est évident. Supposons le résultat acquis pour toutes les dimensions jusqu’à n\succ 1 et fixons une famille obstusangle e_1,\cdots,e_k dans \mathbb{R}^{n+1}. Discutons selon la taille maximale \ell d’une sous-famille strictement obtusangle dans cette famille ; sans perte de généralité admettons que e_1,\ldots,e_{\ell} est strictement obtusangle. Si \ell=1, alors les produits scalaires sont deux à deux nuls ; autrement dit famille est forcément une BON donc ça taille ne dépasse pas n, qui est lui-même plus petit que 2n. En général, si \ell\geq 2, une telle sous-famille est de rang au moins \ell -1 ; soit E le SEV qu’elle engendre et F son orthogonal. Projetons orthogonalement les autres vecteurs de la famille obtusangle sur E : soit e'_i le projeté de e_i. Pour j\leq\ell, on a e'_i\cdot e_j=e_i\cdot e_j\leq 0.

Euh là j’ai cru que c’était forcément 0… en fait c’est certain quand le rang est \ell -1 et non l. Mais quand c’est \ell que dire…
On pourrait essayer de raisonner sur la taille maximale d’une famille strictement obtusangle de rang son cardinal moins un… mais c’est fumeux. Ce serait intéressant pour prouver que la taille d’une famille obtusangle sachant qu’elle contient une famille strictement obtusangle de taille k, rang k-1, est au plus 2(n+1)-k.

Une méthode plus sûre est la deuxième du lien indiqué, un peu adaptée. Donc encore par récurrence. C’est vrai en dimension un ; supposons acquis le résultat jusqu’à la dimension n et soit x_1,\cdots, x_p en dimension n+1. On prend les projetés orthogonaux sur l’orthogonal de x_p, qui forment à leur tour une famille obtus angle en dimension n. Donc y en a au plus 2n, donc p\leq 2n+1. Bizarre ! L’erreur, c’est qu’en fait il pourrait bien y avoir un projeté orthogonal nul… Mais seulement un, car il ne peut y avoir outre x_p qu’un seul vecteur x_i colinéaire à x_p, non-nul et ayant un ps négatif avec lui.

Au passage on voit, par récurrence, que les familles de taille maximale (2n) sont faites d’une base orthogonale et de n vecteurs négativement colinéaires.