Si un atome central avait n+1 voisins identiques dans \mathbb{R}^n, à quoi devrait ressembler la configuration et quels devraient être les angles entre deux doublets liants ? On voit bien que dans le plan il suffit de diviser les 2\pi de manière équitable en 3 angles, soit un angle de 120°. De même un chimiste sait bien que dans CH_4, les quatre liaisons CH forment deux à deux des angles de 109° (en fait arccos(-1/3)). Comment généraliser ?

Analyse

Soient e_1,\ldots, e_{n+1} des vecteurs de norme 1 avec \forall i\neq j,\quad e_i\cdot e_j=a. Quel doit alors être ce a ?

Formons la matrice de Gram de cette famille de vecteurs G=(e_i\cdot e_j)_{i,j=1,\ldots,n+1}. Elle s’écrit
formule3

Or, on sait bien que le rang de la matrice de Gram est le rang de la famille des vecteurs ; vu qu’ils sont dans \mathbb{R}^n, c’est donc une matrice non-inversible et elle est bien obligée d’avoir 0 comme valeur propre. Mais ses valeurs propres sont (1-a) avec multiplicité géométrique n et 1-a+na=1-(n-1)a avec multiplicité 1. On veut donc a=-\frac{1}{n-1} (il ne faut pas demander a=1, qui revient à dire que tous les vecteurs sont égaux).

Synthèse

Pour construire une telle configuration en dimension n, on procède par récurrence. On suppose la construction réalisée au rang n-1 (on sait faire trivialement pour n=1 et on pose a=-\frac{1}{n-1}. Soit v un vecteur unitaire quelconque de \mathbb{R}^n. Soit H l’hyperplan affine passant par av des vecteurs x tels que x\cdot v =a. Pour u dans cet hyperplan on pose u'=u-av\in v^{\bot}. Alors pour u_1,u_2\in H on voit que :

u_1\cdot u_1=u_2\cdot u_2=1\text{ et } u_1\cdot u_2=a

si et seulement si

u'_1\cdot u'_1=u'_2\cdot u'_2=1-a^2=\frac{n(n-2)}{(n-1)^2}\text{ et } u'_1\cdot u'_2=a(1-a)=-\frac{n}{(n-1)^2}

ce qui, à renormalisation près, est justement le problème en dimension n-1. Donc le problème est résolu par récurrence.

On peut voir que les vecteurs e_1,\cdots,e_{n+1} sont uniques à permutation et rotation près.