Si un atome central avait n+1 voisins identiques dans , à quoi devrait ressembler la configuration et quels devraient être les angles entre deux doublets liants ? On voit bien que dans le plan il suffit de diviser les
de manière équitable en 3 angles, soit un angle de 120°. De même un chimiste sait bien que dans CH_4, les quatre liaisons CH forment deux à deux des angles de 109° (en fait arccos(-1/3)). Comment généraliser ?
Analyse
Soient des vecteurs de norme 1 avec
. Quel doit alors être ce
?
Formons la matrice de Gram de cette famille de vecteurs . Elle s’écrit
Or, on sait bien que le rang de la matrice de Gram est le rang de la famille des vecteurs ; vu qu’ils sont dans , c’est donc une matrice non-inversible et elle est bien obligée d’avoir 0 comme valeur propre. Mais ses valeurs propres sont (1-a) avec multiplicité géométrique
et
avec multiplicité 1. On veut donc
(il ne faut pas demander
, qui revient à dire que tous les vecteurs sont égaux).
Synthèse
Pour construire une telle configuration en dimension n, on procède par récurrence. On suppose la construction réalisée au rang (on sait faire trivialement pour
et on pose
. Soit
un vecteur unitaire quelconque de
. Soit
l’hyperplan affine passant par
des vecteurs x tels que
. Pour u dans cet hyperplan on pose
. Alors pour
on voit que :
si et seulement si
ce qui, à renormalisation près, est justement le problème en dimension n-1. Donc le problème est résolu par récurrence.
On peut voir que les vecteurs sont uniques à permutation et rotation près.
2 commentaires
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26/07/2014 à 12:14
2pac
Pas mal, ce petit complément au problème des familles obtusangles…
Il y a juste une confusion sur le « n » : si n est la dimension et qu’il y a n+1 vecteurs, a devrait valoir -1/n et non -1/(n-1). (On a bien -1/2 en dimension 2 avec 3 vecteurs et -1/3 en dimension 3 avec 4 vecteurs…)
26/07/2014 à 23:30
pybienvenu
Ah oui merci… j’ai la flemme de corriger cependant !