L’objet de ce billet est de faire sentir le lien très fort entre les propriétés « avoir beaucoup de racines alignées sur une droite passant par 0 » (par exemple réelles) et « avoir de grands coefficients ». Evidemment vu que multiplier un polynôme par une constante ne modifie pas ses racines, il va falloir clarifier ça.

Une première indication est que si P=(X-\alpha_1)\cdots (X-\alpha_k) où les racines complexes ont des arguments très variables, les coefficients seront des déterminées par des sommes et produits symétriques de ses racines, et donc ont tendance à être des sommes de nombres complexes pointant dans toutes les directions, ce qui a tendance à être petit (cf l’entrée « au-delà de l’inégalité triangulaire »).

Polynômes cyclotomiques

Une première indication est que les polynômes cyclotomiques, qui ont des racines un peu dans toutes les directions, ont tendance à avoir de très petits coefficients, à savoir -1, 0 et 1. C’est effectivement le cas pour tous les polynômes cyclotomiques jusqu’au numéro 105 (et en général c’est le cas de tous ceux qui n’ont que deux facteurs premiers impairs).

Polynômes aléatoires

On peut démontrer (cf agreg externe 2006) que le nombre moyen de racines réelles d’un polynôme de degré au plus n P=a_0+\cdots+a_n X^n dont les coefficients sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes centrées réduites est de l’ordre de \log n, soit très peu. Pour comparer, si l’on prend à présent a_k selon une gaussienne centrée de variance \binom{n}{k} (les coeff centraux sont autorisés à varier beaucoup plus), le nombre moyen de racines réelles est de l’ordre de \sqrt{n}, soit beaucoup plus !

Moralité : si on laisse le polynôme avoir des coeffs de tailles très variables (grandes au milieu, petites au bout), on lui permet d’avoir beaucoup de racines réelles.

Majoration du nombre de racines réelles

Introduisons la longueur d’un polynôme : c’est la somme des valeurs absolues des coefficients.

Alors le nombre r de racines réelles d’un polynôme P=a_nX^n+\cdots +a_0 avec a_0a_n\neq 0 vérifie

r^2\leq 4n\log\frac{L(P)}{\sqrt{\lvert a_0a_n\rvert}}

Répartition des arguments des racines

On reprend les hypothèses et notations précédentes et on note \phi_1,\cdots,\phi_n les arguments dans [0,2π[ des n racines de P (0 n’est pas racine). On note N(\alpha,\beta) le nombre de ces arguments qui se trouvent dans (\alpha,\beta). Alors

formule

Ceci peut s’interpréter en termes d’équirépartition des arguments dans le cercle.

On vient de voir que le paramètre intervenant de manière cruciale concernant la taille des coefficients est

formule2. Ce paramètre est toujours positif(encore heureux) et particulièrement petit quand les coefficients du milieu sont petits et que les deux extrêmes sont en gros de la même taille.

 

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