Le théorème de Cantor-Bernstein stipule que si un ensemble A s’injecte dans B et que B s’injecte dans A, alors A et B sont en bijection. Ce théorème est évident dans le cas fini. Il est intéressant dans le cas général. Une méthode particulièrement intelligente est une méthode de point fixe, voir les raisonnements divins.

Il est naturel de se demander si ce théorème fonctionne dans d’autres catégories. Si A et B sont des structures et qu’il existe un morphisme injectif de A dans B et un morphisme injectif de B dans A, A et B sont-ils isomorphes ?

Par exemple, examinons la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie. La réponse est alors trivialement oui.

Catégorie des espaces topologiques

Il n’y a pas de théorème de Cantor-Bernstein topologique. Pour le voir considérer l’exemple suivant :

A=]0,1[\cup\{2\}\cup ]3,4[\cup \{5\} \cup ]6,7[ \cdots et

B=]0,1] U ]3,4[ U \{5\} U ]6,7[

A injecte dans B avec f(x)=x pour x\neq 2 et f(2)=1. B injecte dans A en mettant le premier intervalle de B dans la première moitié du ]0,1[ du A, le deuxième segment dans la deuxième moitié, puis avec x\mapsto x-3.

Mais ils ne sont pas homéomorphes puisqu’aucune des composantes connexes ne ressemble à ]0,1], qui est un intervalle semi-ouvert…

Catégorie des espaces topologiques compacts

En revanche ça marche bien pour les espaces compacts ! Rien d’étonnant car les compacts fonctionnent approximativement comme des ensembles finis, pour lesquels le théorème est particulièrement vrai.

En fait la méthode de point fixe fonctionne à merveille dans le cadre des compacts à cause de la propriété remarquable dont jouissent les morphismes de cette catégorie :

Un morphisme bijectif est un isomorphisme. En particulier un morphisme injectif est un isomorphisme sur son image.

Zut il y a un bug, j’obtiens que \phi est continue sur A_0 et son complémentaire mais pas moyen de passer à l’ensemble total avec ça ! Malheur !

Catégorie des espaces de Banach

On trouve dans Analyse mathématique – grands théorèmes du XXè siècle une discussion d’un théorème de Cantor-Bernstei pour les Banach. Ce problème est intimement lié à celui de la complémentation : on dit qu’un sous-espace fermé F d’un Banach E est complémenté s’il admet un supplémentaire stable.

Théorème de Pelczynski : soient X,Y deux Banach. On suppose que :

i) X est isomorphe à un sous-espace complémenté de Y

ii) Y est isomorphe à un sous-espace complémenté de X

iii) X et Y sont isomorphes à leur carré

Alors X est isomorphe à Y.

Ces hypothèses sont nécessaires.

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