Cet article est une piètre interprétation personnelle d’une communication privée de Ben, thésard à Dijon.

La théorie des nœuds est une théorie mathématique exemplaire à au moins deux titres ; premièrement car elle est une théorie classifiante, illustrant l’une des grandes missions des mathématiques : mettre de l’ordre, regrouper ce qui est semblable, distinguer ce qui est distinguable ; deuxièmement car elle est le théâtre du combat mentionné à travers la citation de René Thom de l’article précédent entre « la rigueur et le sens ».

En effet, son objet tente beaucoup l’intuition ; la méfiance du mathématicien envers l’intuition le conduit à emprisonner le nœud qui lui fait de l’œil dans une cage axiomatique. Son ennui profond devant sa créature apprivoisée devenue insignifiante lui donne envie de libérer clandestinement le nœud… C’est ainsi que se met en place un va-et-vient typique entre l’intuitif et le formel.

Prenez un lacet de chaussure, faites un nœud standard, et collez de manière indissoluble les deux extrémités. Vous pouvez alors promener votre nœud dans l’espace à votre guise, avec interdiction de prendre des ciseaux pour l’ouvrir, le renouer et recoller les bouts.  On a bien envie de dire que c’est le même nœud.  Mais comment exclure la possibilité qu’un prestidigitateur particulièrement habile parvienne sans tricher à dénouer le nœud ? Il nous faut donner un sens mathématique sérieux à ces considérations pour pouvoir les traiter sérieusement.

Pour nous donner du courage, jetons un œil à cette belle classification des nœuds :

 

Table des nœuds à au plus 7 croisements

 

Régalons-nous aussi de ces véritables sacs de nœuds dont les moines du Moyen-Âge nous gratifiaient régulièrement, pour orner agréablement leurs évangéliaires, en particulier en Irlande.

Une page du livre de Kells (IXè siècle)

On appellera donc nœud tout plongement disons C^1 de \mathbb{S^1} dans \mathbb{R}^3. On déclarera équivalents deux nœuds si les plongements sont isotopes.

Ce nécessaire travail de fondation étant fait, nous n’avons qu’une envie, c’est de refaire un pas vers l’intuition en considérant les diagrammes de nœud, c’est-à-dire les projections sur le plan horizontal passant par l’origine munis d’une information « dessus-dessous », comme sur la table de classification des nœuds ci-dessus. On admettra au passage qu’il y a moyen d’arranger le nœud dans l’espace de manière à ce que la verticale de tout point du plan de projection se trouvent au plus deux points du nœud et que s’il y a deux points, leurs tangentes ne soient pas parallèles, afin d’obtenir ces belles projections où au plus deux brins se rencontrent à chaque croisement, et où les croisements sont « francs » (pas de tangence ignoble).

Au fond les diagrammes de nœud ne sont que de braves graphes plans où chaque sommet est de degré 4, et est muni d’une information supplémentaire pour le « dessus-dessous ». A partir du diagramme on peut reconstruire un nœud dans l’espace.

A présent on ne considèrera que ces diagrammes.  Malheureusement, deux nœuds équivalents peuvent avoir un diagramme assez différent. Ainsi, le « non-nœud » (bête cercle dans l’espace) peut recouvrir les apparences suivantes.

Des diagrammes du nœud trivial

Comment donc confondre l’imposture de ces vains croisements ? Qui va nous dire la différence essentielle entre le schéma ci-dessus et le schéma ci-dessous, où l’on sent bien qu’il y a des vrais nœuds ?

Un faux nœud et de vrais nœuds

Il est donc crucial à présent de comprendre comment un mouvement légal du nœud dans l’espace se répercute sur son diagramme. Dans la plupart des cas, ces mouvements se font sans provoquer sur le diagramme de nouveaux croisements ni en annihiler. Mais parfois, si ; et alors quels genre de mouvements peuvent se produire ?

En d’autres termes, on veut trouver une liste (si possible courte) de « mouvements » (quel que soit le sens de ce terme) sur l’ensemble des diagrammes tels que si K et K’ sont des nœuds de diagramme D et D’ :

K est équivalent à K’ si et seulement si D’ s’obtient à partir de D par des isotopies planes et des mouvements de la liste.

Cette liste, c’est la liste de Reidemeister qui contient trois mouvements.

Maintenant nous ne sommes pas très avancés, car qui peut garantir qu’aucun mouvement de Reidemeister ne peut conduire du diagramme ci-dessous du nœud de trèfle au cercle ? Il nous faut introduire une propriété de ce diagramme, qui se conserve par isotopies planes et mouvements de Reidemeister, que ne partage pas le cercle. Cette propriété, c’est la tricolorabilité.

On appelle brin toute portion du diagramme joignant deux croisements. On dit qu’un diagramme est tricolorable s’il existe une coloration en trois couleurs du diagramme telle que :

1) Au moins deux couleurs sont utilisées ;

2) à chaque croisement, soit les trois brins ont la même couleur, soit ils utilisent les trois couleurs, cf figure :

Un croisement ; soit une unique couleur, soit trois.

Or, il est évident que :

-le diagramme du nœud de trèfle est tricolorable (donner une couleur spécifique à chacun des trois brins) :

Trois couleurs pour le nœud de trèfle

-le diagramme du nœud trivial ne l’est pas (il n’y a qu’un brin, donc une seule couleur alors qu’il en faut deux au moins) ;

-la tricolorabilité est conservée par mouvements de Reidemeister : en effet, si une coloration d’un diagramme vérifie les conditions prescrites et qu’on applique un mouvement de Reidemeister en conservant les couleurs, la coloration du nouveau diagramme vérifie encore les conditions. Là où on introduit de nouveaux croisements (type I et II), ce sont des croisements à une seule couleur. Pour le type III, il faut réfléchir un peu et distinguer des cas mais ça marche. De plus, les isotopies planes (mouvements sans toucher aux croisements) conservent la tricolorabilité évidemment.

Ainsi, le nœud de trèfle est tricolorable (tous ses diagrammes le sont) et pas le nœud trivial (aucun de ses diagrammes ne l’est). Voici donc une distinction entre les deux, et un exemple emblématique et particulièrement intuitif de l’idée de classification en mathématiques.

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