Principe de dichotomie
La philosophie à adopter, quand on manipule des surfaces algébriques, est la trivialité que Tao appelle principe de dichotomie. Un polynôme a soit beaucoup de zéros, soit très peu.

Une manière de formuler ceci est le théorème de Bézout (cf post sur les méthodes constructives et existentielles pour voir deux pistes de démonstration) : si deux polynômes en deux variables de degré d_1,d_2 ont plus de d_1d_2 racines communes, alors ils ont un facteur commun et donc beaucoup de racines communes (au moins dans la clôture algébrique, car un polynôme non constant en deux variables a une infinité de racines).

Cela suffit à trancher l’interrogation suivante. Si P et Q sont deux polynômes de \mathbb{C}[X,Y] tels que Q soit non-constant et sans facteur carré (ce qui est en particulier le cas si la surface Z(Q)=\{(x,y)\lvert Q(x,y)=0\} n’a pas de point singulier), et que P s’annule sur Z(Q), alors Q divise P.

C’est assez intuitif : si P s’annule sur la droite d’équation ax+by=k, on a bien envie d’écrire que aX+bY-k divise P, et c’est facile à démontrer. Bézout permet de systématiser ceci. Il faut bien que le polynôme Q soit sans facteur carré, car je peux très bien aussi donner pour équation à cette même droite (ax+by-k)^2=0

Le Combinatorial Nullstellensatz comme généralisation d’un lemme d’algèbre linéaire

L’algèbre linéaire rudimentaire dit que si une forme linéaire f s’annule sur l’intersection des noyaux des formes linéaires f_1,\cdots,f_k, alors f est combinaison linéaire de ces formes linéaires : f=\sum a_if_i.

Ceci concerne donc des polynômes de degré 1 ; remarquablement, un énoncé assez similaire marche aussi avec des polynômes de degré quelconque, comme vous pouvez le voir sur l’article de Noga Alon.

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