Le théorème de Green-Tao annonce qu’il existe des progressions arithmétiques de toute longueur chez les nombres premiers.

Il fait penser à deux autres théorèmes célèbres parlant de nombres entiers en progression arithmétique :
1)le théorème de Szemeredi qui stipule que tout ensemble dense de nombres entiers contient des progressions arithmétiques de toute longueur ;
2)le théorème de Dirichlet qui dit qu’il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique.

La ressemblance avec le premier est loin d’être fortuite, mais loin d’être triviale non plus. Les nombres premiers ne sont pas un ensemble dense.

Cela dit, la conjecture d’Erdös-Turan, si démontré un jour (on en est loin !), ferait des théorèmes de Szemeredi et de Green-Tao deux aimables cas particuliers d’un fait plus général : si la somme des inverses des éléments d’un ensemble d’entiers est dense, alors cet ensemble contient des progressions de toute longueur.

Ça prouverait du coup que tout ensemble de densité de l’ordre de \frac{1}{\log N} contient des progressions de toute longueur. On est incapable de le démontrer en général ; les nombres premiers sont un ensemble bien particulier parmi ceux de cet ordre de densité, doté d’un certain caractère aléatoire. La preuve du théorème de Green-Tao utilise fortement le théorème de Szemeredi.

En revanche la ressemblance avec le deuxième est plutôt accidentelle. Le théorème de Green-Tao utilise Dirichlet de manière très faible et secondaire.

1) Il n’y a pas de progression de longueur infinie faite de nombres premiers.

En effet, soit a et d>0 le premier terme et la raison d’une progression, et p un nombre premier qui ne divise pas d (ce qui existe à cause de l’infinitude des nombres premiers). Alors d est un générateur de \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ce qui implique qu’il existe k tel que a+kd\equiv 0 [p]. Evidemment, a+kd pourrait être p lui même, mais alors a+(k+p)d sera un autre multiple de p, donc non premier.

2) La méthode naïve pour faire des progressions longues
Pour faire une progression arithmétique de nombres premiers, il faut en premier lieu se protéger du danger de la parité ; au vu du paragraphe précédent, il faut donc prendre une raison paire. Et pour éviter la divisibilité par p, il faut prendre une raison qui soit multiple de p. D’où l’idée de prendre pour raison des nombres hautement composés, pour se prémunir de la divisibilité par beaucoup de nombres premiers.
Partons d’un nombre premier p, et prenons d=P(p-1) où P est la primorielle. On sera sûr que les a+kd pour d=0,…,p-1 n’auront aucun facteur premier inférieur ou égal à p ; ça ne garantit cependant pas qu’ils soient premiers.

C’est ainsi qu’en prenant p=3, donc d=2, on obtient la progression de longueur trois 3,5,7.

En prenant p=5, donc d=6, on obtient la progression de longueur cinq 5,11,17,23,29.

En prenant p=7, donc d=30, on obtient la progression 7,37,67,97,127,157. Elle est seulement de longueur six ; le septième terme, 187, se trouve malheureusement divisible par 11 et 17. On ne peut pas se prémunir de mauvaises surprises venant de « grands » nombres premiers.

Avec p=11, d=210, l’échec survient même immédiatement, puisque 221=13×17. Même chose pour p=13.

Remarquons qu’en tout cas si on veut une progression longue, il va falloir la chercher très loin. Si l’on veut une progression de longueur au moins k+1, il va falloir que le résidu modulo k soit constante pour tout nombre premier inférieur ou égal à k. Et donc il faut que la raison de la progression soit divisible par, en particulier supérieur à, P(k). Ça fait beaucoup… Quant au point de départ, s’il est divisible par le facteur premier p, on est obligé de prendre une raison non-divisible par p, donc la longueur de la progression ne peut pas dépasser p. On veut donc que tous les facteurs premiers du point de départ n soient supérieurs à k. En particulier n>k.

3) Bornes et heuristiques
A cause de la dramatique ineffectivité du théorème de Széméredi (on est en plein dans la théologie avec Széméredi), on ne peut pas donner de bornes sûres et sérieuses pour un entier N(k) tel qu’il existe une progression arithmétique de longueur k faite de nombres premiers inférieurs à N(k). Le mieux qu’on puisse proposer est ceci.

Il est donc utile d’avoir recours à une petite heuristique pour les ordres de grandeurs. En gros l’idée est toujours la même : on fait comme si les nombres entre 1 et N étaient des nombres premiers aléatoirement et indépendamment les uns des autres avec une probabilité \frac{1}{\log N}.

Ainsi pour les progressions de longueur 4, on fait comme si la primalité de chacun des nombres n,n+d,n+2d,n+3d est un événement aléatoire ne dépendant pas des autres. Bien sûr c’est très faux… On en déduit que pour N très grand, le nombre de progressions de longueur quatre faites de nombres premiers est de l’ordre de \frac{N^2}{\log^4N}. En fait par miracle, c’est pas loin d’être vrai ; c’est vrai à une constante multiplicative près, à savoir \frac{3}{4}\prod_{p\geq 5}(1-\frac{3p-1}{(p-1)^3}) qui vaut à peu près 0,474 (cf Green and Tao, Linear equations in primes ici).

4) Autres remarques
Le théorème de Green-Tao dit entre autres qu’il existe une infinité de progressions de longueur 3 dans les nombres premiers. Mais si l’on fixe le point de départ, que peut-on dire ? Y a-t-il une infinité de triplets de nombres premiers de la forme 3, 3+k, 3+2k, comme 3,5,7 ou 3, 7, 11 et 3, 11, 19 (remarquons que ça marche assez souvent, 3, 19, 35 étant le premier cas où ça échoue) ? Ça personne ne l’a jamais démontré. Ça fait partie de la conjecture d’Hardy-Littlewood généralisé : elle dirait ici que le nombre de tels triplets jusqu’à N est de l’ordre de 3/4\frac{N}{\log^2 N}. En effet, ça revient à compter les premiers p tels que 2p-3 soit premier. Ça ressemble furieusement aux nombres premiers de Sophie Germain, qui sont les p tels que 2p+1 soit encore premier ; personne ne peut les dénombrer asymptotiquement, ni même dire s’il y en a une infinité. Ça ressemble aussi aux nombres premiers jumeaux ; tous ces phénomènes font partie des configurations de complexité infinie, au sujet desquels Green & Tao n’ont rien à dire pour le moment. Le génie de Green & Tao est de remarquer qu’en introduisant plus de souplesse dans le problème, i.e. plus de variables, on a moyen de dire quelque chose de non-trivial. On ne peut rien dire quand on demande une raison fixée ou un point de départ fixé, mais quand on accepte tout, on peut dire soudainement énormément de choses !

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